新2查账(www.hg108.vip):解决了百年数学难题?张益唐教授亲自回应来了

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本文来自微信公众号:高山书院(ID:gasadaxue),整理:朱珍,头图来自:高山书院


11月5日,一篇长达111页的数学论文在网上流传,作者是美籍华裔数学家张益唐教授。文章题目为《离散平均数估计和朗道-西格尔零点》。在这篇论文里,张益唐教授称,自己已解决朗道-西格尔零点猜想。


此消息一出,可谓是在数学界轰动不已,网友们纷纷转发,奔走相告。但专业的数学问题让很多人只能当吃瓜群众,不明白到底是怎么回事。


此次硅谷课程上,高山书院邀请到了张益唐教授,亲自为大家解读他的研究。


以下内容整理自张益唐教授的课程分享,经老师专业审核后公开发布,感谢北京大学姜传洋博士对本文的审核指导。


张益唐教授在高山书院硅谷站课堂上


之前在纽约北大校友会上宣布我解决了朗道-西格尔零点猜想问题,这并不是胡扯,也不是我说错了什么,本质上我的确就是解决了数论中的这个难题。但实际上并没有网上传的这么轰动,在这里我也要澄清一下。


要解决朗道-西格尔零点猜想问题,一般认为有两种可能:一个是证明这个零点存在,一个是证明它不存在。


我所证明的是朗道-西格尔零点不存在。


如果存在的话,那会是非常了不得的事情,因为这样一来,就意味着黎曼假设是错的,很多人肯定是不会相信的。


今天给大家分享下我是怎么证明这个过程的。我会尽量用通俗的语言来描述。


数学里的“测不准原理”


我们知道物理里有“测不准原理”,其实数学里也有,或者准确的是说,是有结果但不能有效确定。就拿2013年我证明的孪生素数猜想举例来说吧。


素数也叫质数,是只能被1和自身整除的数。孪生素数猜想通常被称为“素数间隔”,比如像(3,5)、(11,13)这样差为2的素数对。


孪生素数猜想是1900年希尔伯特在国际数学家大会上提出来的一个猜想,他认为,随着数字变大,可以观察到的孪生素数会越来越少。那么,到最后,会不会再也找不到新的孪生素数呢?


孪生素数猜想与黎曼猜想、哥德巴赫猜想一样,同属久负盛名的希尔伯特第八问题。被数学界认为“可能是永远无法解决的问题之一”。


目前做到的关于解决孪生素数的答案里,最好的是说两个素数之间的差小于和等于246的素数对有无穷多个。


我们知道素数的个数是无限的,而随着素数的增大,下一个素数与上一个素数之间的差应该越来越大。


如果把孪生素数进行推广,去掉(2,3)这个差值是1的这一对素数,其他的素数对差值都是2或者2的倍数,即都是偶数。经过计算最后发现,两个素数之间差值分别是2、4、6、8、10.....这种可能性只有123种,也就是差值为246及以下的素数是有无穷多对的。


怎么理解呢?


如果我们把无穷多个球装到123个箱子里,那么到最后至少有一个箱子里会装无穷多个球,这一点大家可以理解的吧?


用反证法来讲,假如123个箱子每个里面装的都是有限个球,那所有箱子加起来还是有限个球,那就不可能成立,所以至少有一个箱子里有无穷多个球。


现在,我们把一对素数对看做是一个球。比如把差值是2的素数对装进第一个箱子,差值是4的素数对装进第二个箱子,差值是6的素数对装进第三个箱子......


依此类推,那至少有一个箱子里有无穷多对素数,但是到底是哪个箱子,我们是算不出来的,是无法确定的,所以这就是数学里的“测不准原理”。数论里很多这样的特性,都是“算不准”的。


数学变成了神学,甚至是妖术?


说到朗道-西格尔零点猜想,首先给大家讲讲什么是“零点”。


给你一个函数,比如y=x2-1,当x为何值时,y=0,那就能找到这个函数的零点。对于这个函数,很简单,x=±1。也就是说,在x=±1时,这个函数有零点。


那如果是y=x2+1呢?在实数范围里是算不出来的,如果把虚数也考虑进来,在复数的范畴下解答的话,那就能解决了,x=±i。


也就是说,在复数范围内,一般的函数都是有零点的


那么,黎曼假设讲的是什么呢?它认为,在复数范围内,有的函数在一定的范围内是没有零点的。


黎曼是一个非常伟大的数学家,丘成桐教授曾说过一个观点,他认为黎曼是人类历史上最伟大的数学家,没有之一。


为什么这么说呢,是因为黎曼的原创性思想特别多。无论是在分析、几何、数论等领域,他都做出了原创性的贡献。


1859年,他发表了一篇论文,就这一篇论文,诞生了一个百年谜题——黎曼猜想,但他在论文里不经意地说了一句,“这个证明过程不重要,从略。”这一句“不重要”让后世无数的数学家们前赴后继地去寻找这个证明过程。


2000年,美国克雷数学研究所在巴黎召开数学会议,投票评选出数学界的七大“千禧问题”之一,黎曼猜想位居榜首。


那么,黎曼猜想与朗道-西格尔零点猜想之间又有什么关系呢?


因为后来德国数学家狄利克雷把黎曼猜想进行了推广,引进了一大堆函数,从而产生了广义黎曼猜想,而广义黎曼猜想恰好又是朗道-西格尔零点猜想的充分条件。


实际上在我之前,西格尔大概在1930年代就已经证明了,在不能有效计算的范围里,朗道-西格尔零点不存在。但是并不是证明了就完了,这里面还牵扯很多的参数设置,你看他是这样证明的:


在一定范围下,如果前提是朗道-西格尔零点只存在一个的话,由于函数有很多个,有一个已经有零点了,那么其他的函数就都没有零点。


那如果我们再画出一个更大的范围,那在这个大的范围,所有的函数也都没有零点,再往外推,在无穷大的范围内所有的函数也都没有零点。


所以在这个意义上,我们说朗道-西格尔零点不存在。


但是究竟是在什么样的范围内?范围多大?这又取决于你的假设,而假设又不是证明,所以这就无法确定。


很多人可能会抗议,说这数学怎么变成了神学甚至是妖术?但事实上就是这样的,数学里有太多“测不准”的事情。


大家可能发现了不管是物理还是数论领域,很多重要的理论或者定义,都是用否定语气来叙述的,比如我这次发现的结论就是,朗道-西格尔零点不存在。


比如物理学里,狭义相对论简单来说就是,没有参照系的情况下,要测量绝对速度是不可能的;广义相对论也是一样,区分惯性质量和引力质量或者说区分惯性场和引力场是不可能的。


在数论领域,这样的描述更多。


把事情做到极致


昨天夜话上也跟大家聊过,其实我做事是希望尽量把事情做到极致,这样才有可能会发现一些新的东西。


张益唐教授在高山书院硅谷站夜话现场


时间关系,我就简单讲讲我的工作是怎么做的。


当初做孪生素数的时候,我的工作简单说来就是在数论里进行一系列的推导,推导到最后需要构造一个有限的实数序列,去证明这个序列里一定包含一个小于零的数。后来做朗道-西格尔零点问题时,最后也归结到这里了。


这个问题我断断续续研究了20多年,我发现了很多组序列,但都不是小于0,是非常接近于0的,所以始终证明不出来。


而最后我是怎么证明的呢?我把两组都非常接近0 的序列拿来再组合一个新的序列,不一定是负的,也不一定是正的,但最后弄出来的柯西不等式能推导出矛盾,问题就解决了。


后来我就想,数学甚至可以说是科学里,很多时候你可能觉得希望渺茫,但即便是做不出来结果,我们也可以尽可能去把它做到极致,说不定希望会出现了。


就像我始终无法证明零点是否存在的问题,但我把序列做到无限接近于0,然后再引进一个新的不等式,最后还是能把问题解决。


之前我看到过一个电影,陈凯歌导演的《我和我的祖国》,里面讲到一个香港的钟表匠,在香港回归的时候,为了把时间对准,没日没夜修表,坚决不出任何差错,最后做到了一秒不差。这个故事可能是虚构的,但他的匠人精神给我印象非常深刻。


在现在这个技术突飞猛进的网络时代,可能我就是把自己看成是数学上的一个工匠,成年累月地去做,不做到极致不罢休。我认为这是很重要,保持着单纯的匠人精神,就这样一直做下去。能够坚持这一点,我觉得就是成功的。


问答环节


张益唐教授(前排左二)与高山师生们在硅谷站


1. 文厨(高山书院创办人&校长)


有人说,从孪生素数猜想到朗道-西格尔零点猜想,您完成了两次不可能,你自己怎么看?


张益唐:


我这个人的性格,就是喜欢做有挑战性的事。喜欢做别人认为不可能的事。


说到“不可能”这个事,其实是有这么个渊源的。2019年,《人物》杂志采访我,也采访了我身边的一些人,从他们那里去了解我。其中有我的一个同事,是个美国人,记者问他,“张益唐能证明朗道-西格尔零点猜想吗?”那个同事回复说,“他要是能做出来,那就相当于一个人被闪电击中2次。


我们都知道,一个人被闪电击中一次的概率都很小,更别说是2次了。所以他是认为要做这个事情几乎是不可能的。


2. Tom Zhang(硅新社创始人,高山书院2018级同学)


我小时候看陈景润教授做数学研究的故事,说他演算纸用了好几麻袋。不知道张教授您是不是也用了好多演算纸?


张益唐:


我没有用这么多演算纸。我用的是电脑上一个很简单的软件,你们在座的很多人应该也都用过,就是加拿大的一款软件MAPLE,用来算算积分,基本就够用了。


我个人对陈景润教授是非常佩服的,在上世纪60年代那种环境下,别说电脑了,连个计算器都没有,所有的数据都要用算盘或者靠手算,这需要非常大的毅力,很少人能有这样的毅力,我从小就非常敬佩他,到现在也一直佩服他。


3. 周天羽(宽潭资本合伙人,高山书院2022级同学)


张教授,哥德巴赫猜想已经很久了都没有人能证明,您觉得它可能会从什么层面被解决?


张益唐:


从陈景润证明的哥德巴赫猜想“1+2”之后,我觉得还是需要等待新的原创的idea,这方面我做过一些尝试,但目前还没有做出来。


也有很多数学家在不断地研究中,什么问题都是可以慢慢被做出来的,没有必要太悲观。


4. 李晓(GurryShark Capital合伙人,高山书院2022级同学)


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张教授,有了解到您不做数学研究的时候,也对诗歌等艺术作品感兴趣,不知道张受教喜欢什么的诗歌作品呢?


张益唐:


诗歌的话,我主要是欣赏中国古典诗歌,最欣赏的是杜甫的作品。


5. 谢晓泽(斯坦福大学终身教授)


刚才听您说“一个人被闪电击中2次”,觉得很有诗意。不知道张教授在做研究中,是否有那种突然迸发的灵感的状态?


张益唐:


灵感的突然出现,确实也有点像被闪电击中的感觉。


我记得很清楚的是,2012年7月3日,我在科罗拉多州的一个朋友家的后院里,想去看梅花鹿,但是鹿一直没有来。


那个时候我在心里想孪生素数的事情已经想了很久了,就在鹿一直没有的时候,我突然就把原来分开思考的两件事连在一起想了,结果就那么一瞬间,现在回想起来就有点像是被雷击中的瞬间,我就想通了那个孪生素数的问题。


6. 余晓帆(张首晟基金会主席)


孪生素数猜想到朗道-西格尔零点猜想,这两个问题之间有什么联系吗?


张益唐:


孪生素数猜想到朗道-西格尔零点猜想这两个问题之间是有一定的联系的,他们都可以归结到有限的序列问题上,都是去证明这两个有限的序列不都是正的,也存在负值。


数论里很多问题是相似的,很多解决问题的想法也是相通的。


7. 郭毅可(英国皇家工程院院士,欧洲科学院院士,香港浸会大学副校长,香港科技大学首席副校长)


世界经济论坛有个预测说,到了2060年,人工智能应该能做所有数学家能做的事,你觉得这个可能吗?


张益唐:


我在大学教数学,不管教什么,我的那些学生们都会觉得很容易,好像感觉就是天上掉下来的。所以我同意不管是到2060年还是哪一年,人工智能是有可能做数学家们能做的事情的,但是有一点,数论肯定是最后被人工智能攻克的,因为数论还是有难度的,这是我的感觉。


数论是很特别的,在数论里,像高斯这样的天才必须是要存在的,如果没有他们,数论很难发展起来。


郭毅可:


那人工智能对于解决数论问题有所帮助吗?


张益唐:


还是有可能有帮助的。比如希尔伯特第20个问题是前几年被解决的,就是电脑协助的,一部电脑还不够,还是好几部联动的。但这还不能算是人工智能。


我总认为将来人工智能对数论问题肯定是有帮助的,数论问题不是一个简单的计算问题,它比下围棋什么的都要困难得多。


夏志宏(美国西北大学终身教授,高山书院校董):


作为一个数学家,大家可能觉得我应该很懂张益唐教授的研究,但是非常遗憾地告诉大家,其实并不太懂。素数或者说张教授研究的领域是非常艰深非常困难的。


从数学的整体发展而言,解析数论是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支,是中国比较传统的强项。在这之前,因为很多年没有什么进展,很多人认为解析数论已经死了,张益唐教授的研究相当于复活了它,让很多研究解析数论的数学家们看到了希望。


张益唐教授的研究,是将这么多年来解析数论的研究做到了极致。是什么意思呢?就是一个想法出来了,把它做到人类智力上几乎无法跟随的深度上去。


8. 孙瑜(柔灵科技创始人兼CEO,高山书院2022级同学)


日常生活中,如何想办法让自己的灵感瞬间更多地发生?


张益唐:


在我看来,一个基本的前提就是你需要长期的积累,整天地想这个东西,成年累月地想,这样才有可能在某一个瞬间爆发


我当年研究孪生素数,就是从两个不同的角度去思考了很久,后来发现把这两个角度的事情放到一起想,改了一些参数,突然灵感就来了,问题就解决了。


昨天夜话上我跟大家也聊过,其实不管是数学家还是谁,不管做什么,我们都是有局限性的,我总是这样随时提醒自己,我不可能一下子就做出多么大的贡献,只能在既有的基础上,创造更多的机会,一点点去摸索和尝试。


很多年前马克思说过这样一句话,“人们自己创造自己的历史,但是他们并不是随心所欲地创造,并不是在他们自己选定的条件下创造,而是在直接碰到的、既定的、从过去承继下来的条件下创造。”


9. 张倩(天际资本创始人,高山书院2017级同学)


如何培养孩子的数学素养?


张益唐:


找一些有趣的数学问题数字问题多去给他们讲,用有趣的问题熏陶他们。


比如我给我孙女讲过一个:你要确定一个数能不能被3整除,就把这个数的个位十位百位什么的都加起来,如果这个加和能被3整除,那么原始这个数也能被3整除。同样的,3换成9也可以,但换成7就不行。


像这样的例子有很多,小孩也能玩。不需要证明,让孩子们自己去想为什么。我觉得这是一种很有趣的引导孩子们对数学感兴趣的办法。不是要硬性强迫他们去学习。


10. 盘红兰(立德未来基金会副理事长,高山书院2020级同学)


很多人都认为数学研究很枯燥,请问你是怎么从小坚持下来的?力量来自何方?


张益唐:


能坚持下来是因为我从来没有认为数学是枯燥的


我相信在座的很多朋友,也许你的专业不是数学,但你还是会对一些数学问题感兴趣,比如数论里的孪生素数猜想、哥德巴赫猜想什么的。我对这些个问题很容易懂,上中学甚至是上小学的时候就懂,但是要想去证明它,就不容易了。


这里面有很多已知和未知的东西,而这个已知和未知之间的差距,就很有意思。所以我相信对很多朋友来讲,数学不见得总是那么枯燥。


11. 袁征(Zoom创始人&CEO)


从您的角度来看,这数学美在什么地方?


张益唐:


从我自己的角度来讲,数学的美在于它是有挑战性的,它挑战你生理的极限,不仅仅是个人的智力,而是整个人类智力的极限


严格讲应该是从古希腊开始,数学就开始存在了。那时候研究的是诸如“长方形的对角线长度是不是有理数”,“用尺规能不能画出与给定圆面积相等的正方形”之类的问题,2000年前人们就提出这样的问题,本身就是很震撼的。


而“化圆为方”这样的问题,直到19世纪才被解决,结论是不可能,做不到。一个小小的数学问题,难倒了数学家们千年,这本身就有美的东西在里头。


还有一个例子,就是非欧几何。中学我们都学过欧几里得几何,其中第五公式的原意是,过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。这么简单一个问题,但连欧几里得也没说清楚,过了2000年人们才知道怎么去解决这个问题。


所以你真的是不得不佩服2000年前的那些先驱们,每次想到这里,我都会被震撼到,从这里面,我就能体会到数学的美。


袁征:


数学里很多公式非常美,这些公式到底谁创建的,是上帝吗?还是这些公式自然而然是存在的?


张益唐:


是人创造的,也许这些人是比较接近上帝的。薛定谔方程是物理的,我们就先不说了。还有一个欧拉公式:



这个非常有意思,e是自然对数的底,i是虚数单位,一个简单的公式把几个基本的量都连在一起了,而且在数学上还有特别的应用,多么美妙。


袁征:


那这些公式是客观存在的吗?或者说是上帝本身就创建好的,只是等着人去探索,有的能被人发现,有的还没有发现?


张益唐:


这里我想引用19世纪德国数学家利奥波德·克罗内克的一句名言:“上帝创造了整数,其他都是人造的。”


我认为这些规律应该本身就是自然界存在的,不能说是人们创造了或者发明了它,只能说是发现,即客观存在的规律被伟大的数学家们发现了


12. 李可佳(高山科学促进中心秘书长;极课大数据创始人,高山书院2020级同学)


在数学领域,人与人的差距真的就那么大吗?我以前上学的时候,觉得自己数学还挺好的,但后来进了少年班,发现很多人真的是不看书,但却非常厉害。我很好奇,拉马努金现象是真实存在的吗?是什么造成的?


张益唐:


拉马努金这个应该算是一个特例,32年的短暂生命,据统计留下3900个公式,确实是一个数学天才的存在。拉马努金猜想,按他自己的话来说,是他在梦里梦见了一位女神,女神给他的启示。


他留下的那么多公式,其实并不是所有的都是正确的,也有很多公式他自己也没有证明出来,而是过了很多年才被证明出来是正确的。现在还有专门的机构和人员研究他留下来的那些笔记。他的存在确实是一个奇怪的特例。


夏志宏:


我觉得每个人对数学的理解和感觉都是不一样的。比如有的人看到数字后就是个数字,有的人却可以看到其他的东西。比如给你一个车牌,一个号码,有的人会立马想到一些奇奇怪怪的东西,比如这个数是哪几个素数加在一起或怎么运算得到的等等,这个时候显然是没有女神的指引。


有的人看到数字之后,比如拉马努金,他的头脑里会飞快地转动,甚至想到各种拓扑空间之类的。


这就像每个人看到不同的颜色,他们的感受都很不相同。感觉好的人可能会成为了艺术家。


所以我觉得每个人都去找自己感觉好的方向去发展,在这个领域努力的话,肯定就会做好;而你感觉不好的时候,强行去做就会非常痛苦。其实这也是兴趣所在。

本文来自微信公众号:高山书院(ID:gasadaxue),整理:朱珍

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